Derivace funkce

Derivační pravidla

Derivační pravidla a zákony. Tabulka derivátů funkcí.

Definice derivace

Derivace funkce je poměr rozdílu funkční hodnoty f (x) v bodech x + Δx a x s Δx, když je A nekonečně malé. Derivace je funkční sklon nebo sklon tečné čáry v bodě x.

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

Druhá derivace

Druhá derivace je dána:

Nebo jednoduše odvozením z první derivace:

f '' (x) = (f '(x))'

N-tá derivace

N-tá  derivace se vypočítá odvozením f (x) n-krát.

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

Příklad:

Najděte čtvrtou derivaci

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '' = [10 x 4 ] '' '= [40 x 3 ]' '= [120 x 2 ]' = 240 x

Derivace na grafu funkce

Derivace funkce je sklon tangenciální přímky.

Derivační pravidla

Derivace součtu

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Derivace součinu

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Derivační kvocient \ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( X)}
Derivační řetězové pravidlo

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Pravidlo derivace součtu

Když a a b jsou konstanty.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Příklad:

Najděte derivát:

3 x 2 + 4 x.

Podle pravidla součtu:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )‘= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Pravidlo derivace součinu

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Derivační kvocient

\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( X)}

Derivační řetězové pravidlo

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Toto pravidlo lze lépe pochopit Lagrangeovým zápisem:

\ Frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Funkce lineární aproximace

Pro malé Δx můžeme získat aproximaci k f (x 0 + Δx), když známe f (x 0 ) a f '(x 0 ):

f ( x 0 + A x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) A x

Tabulka derivátů funkcí

Název funkce Funkce Derivát

f ( x )

f '( x )
Konstantní

konst

0

Lineární

X

1

Napájení

x a

a x a-1

Exponenciální

e x

e x

Exponenciální

a x

a x ln a

Přirozený logaritmus

ln ( x )

Logaritmus

log b ( x )

Sinus

sin x

cos x

Kosinus

cos x

-sin x

Tečna

tan x

Arcsine

arcsin x

Arccosin

arccos x

Arctangent

arctan x

Hyperbolický sinus

sinh x

cosh x

Hyperbolický kosinus

cosh x

sinh x

Hyperbolický tangens

tanh x

Inverzní hyperbolický sinus

sinh -1 x

Inverzní hyperbolický kosinus

cosh -1 x

Inverzní hyperbolický tangens

tanh -1 x

Příklady derivátů

Příklad č. 1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Příklad č. 2

f ( x ) = hřích (3 x 2 )

Při použití pravidla řetězu:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Druhý derivátový test

Když je první derivace funkce v bodě x 0 nula .

f '( x 0 ) = 0

Pak druhá derivace v bodě x 0 , f '' (x 0 ), může označovat typ tohoto bodu:

f '' ( x 0 )> 0

místní minimum

f '' ( x 0 ) <0

místní maximum

f '' ( x 0 ) = 0

neurčeno

V současné době máme kolem 2787 kalkulaček a převodních tabulek, které vám pomohou rychle spočítat vše pro oblasti jako jsou:

a další nástroje neustále vyvíjíme. Naším cílem je stát se jednotným kontaktním místem pro všechny lidi, kteří potřebují rychlé výpočty nebo kteří potřebují najít rychlou odpověď pro základní dotazy na Internetu.

Kromě toho věříme, že internet by měl být zdrojem bezplatných informací. Všechny naše nástroje a služby jsou proto zcela zdarma a není nutná žádná registrace k tomu, abyste je mohli používat. Každou kalkulačku jsme kódovali a vyvinuli individuálně a sami si ji důkladně otestovali. Pokud však zaznamenáte nějakou chybu, informujte nás, prosím.

Zatímco většina kalkulaček na Justfreetools.com je navržena tak, aby byla univerzálně použitelná pro celosvětové použití, některé kalkulačky a tabulky se mohou vztahovat jen pouze pro konkrétní země (například výpočet daní z příjmů se bude lišit pro jednotlivé země apod.)


Page Id: 2150

K personalizaci obsahu a reklam a analýze naší návštěvnosti využíváme soubory cookie. Více informací