Logaritmická zmena základného pravidla

Logaritmická zmena základného pravidla

Aby sme mohli zmeniť bázu z b na c, môžeme použiť logaritmickú zmenu základného pravidla. Základný logaritmus x sa rovná základnému logaritmu x vydelenému základným logaritmom b:

log _b ( x ) = log _c ( x ) / log _c ( b )

Príklad č. 1

log ₂ (100) = log ₁₀ (100) / log ₁₀ (2) = 2 / 0,30103 = 6,664386

Príklad č. 2

log ₃ (50) = log ₈ (50) / log ₈ (3) = 1,8812853 / 0,5283208 = 3,5608766

dôkaz

Zvyšovanie b pomocou sily bázy b logaritmus x dáva x:

(1) x = b ^log b ^{( x )}

Zvyšovanie c pomocou sily bázy c logaritmus b dáva b:

(2) b = c ^log c ^{( b )}

Ak vezmeme v (1), a nahradiť b s c ^log c ^{( b )} (2), dostaneme:

(3) x = b ^log b ^{( x )} = ( c ^log c ^{( b )} ) ^log b ^{( x )} = c ^log c ^{( b ) × log} b ^{( x )}

Použitím log _c () na oboch stranách (3):

log _c ( x ) = log _c ( c ^log c ^{( b ) × log} b ^{( x )} )

Uplatnením pravidla logaritmu :

log _c ( x ) = [log _c ( b ) × log _b ( x )] × log _c ( c )

Pretože log _c ( c ) = 1

log _c ( x ) = log _c ( b ) × log _b ( x )

alebo

log _b ( x ) = log _c ( x ) / log _c ( b )

Logaritmus nuly »