Laplaceova transformace

Laplaceova transformace převádí funkci časové domény na funkci s-domény integrací od nuly do nekonečna

 funkce časové domény, vynásobené e -st .

Laplaceova transformace se používá k rychlému nalezení řešení pro diferenciální rovnice a integrály.

Derivace v časové doméně je transformována na násobení s v doméně s.

Integrace v časové doméně je transformována na divizi s v doméně s.

Laplaceova transformační funkce

Laplaceova transformace je definována operátorem L {}:

F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

Inverzní Laplaceova transformace

Inverzní Laplaceova transformace může být vypočtena přímo.

Obvykle je inverzní transformace dána z transformační tabulky.

Laplaceova transformační tabulka

Název funkce Funkce časové domény Laplaceova transformace

f ( t )

F ( s ) = L { f ( t )}

Konstantní 1 \ frac {1} {s}
Lineární t \ frac {1} {s ^ 2}
Napájení

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

Napájení

t a

Γ ( a +1) ⋅ s - ( a +1)

Exponent

e at

\ frac {1} {sa}

Sinus

hřích na

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

Kosinus

protože v

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

Hyperbolický sinus

sinh na

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

Hyperbolický kosinus

cosh na

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

Rostoucí sinus

t sin na

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Rostoucí kosinus

t cos at

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Rozkládá se sinus

e - hřích ωt

\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Rozkládá se kosinus

e -at cos ωt

\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Delta funkce

δ ( t )

1

Opožděná delta

δ ( ta )

e -as

Laplaceovy transformační vlastnosti

Název vlastnosti Funkce časové domény Laplaceova transformace Komentář
 

f ( t )

F ( s )

 
Linearita af ( t ) + bg ( t ) aF ( s ) + bG ( s ) a , b jsou konstantní
Změna měřítka f ( at ) \ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right) a > 0
Posun e -at f ( t ) F ( s + a )  
Zpoždění f ( ta ) e - jako F ( s )  
Derivace \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - f (0)  
N-tý derivace \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
Napájení t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
Integrace \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F (s)  
Reciproční \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
Konvoluce f ( t ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * je operátor konvoluce
Periodická funkce f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

Příklady Laplaceovy transformace

Příklad č. 1

Najděte transformaci f (t):

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

Řešení:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t2} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t2} = 3/s2 + 4/s3

 

Příklad č. 2

Najděte inverzní transformaci F (s):

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

Řešení:

Abychom našli inverzní transformaci, musíme změnit funkci domény s na jednodušší formu:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

Abychom našli aab, dostaneme 2 rovnice - jeden z koeficientů s a druhý zbytek:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

Nyní lze F (s) snadno transformovat pomocí tabulky transformací pro exponentní funkci:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t


V současné době máme kolem 929 kalkulaček a převodních tabulek, které vám pomohou rychle spočítat vše pro oblasti jako jsou:

a další nástroje neustále vyvíjíme. Naším cílem je stát se jednotným kontaktním místem pro všechny lidi, kteří potřebují rychlé výpočty nebo kteří potřebují najít rychlou odpověď pro základní dotazy na Internetu.

Kromě toho věříme, že internet by měl být zdrojem bezplatných informací. Všechny naše nástroje a služby jsou proto zcela zdarma a není nutná žádná registrace k tomu, abyste je mohli používat. Každou kalkulačku jsme kódovali a vyvinuli individuálně a sami si ji důkladně otestovali. Pokud však zaznamenáte nějakou chybu, informujte nás, prosím.

Zatímco většina kalkulaček na Justfreetools.com je navržena tak, aby byla univerzálně použitelná pro celosvětové použití, některé kalkulačky a tabulky se mohou vztahovat jen pouze pro konkrétní země (například výpočet daní z příjmů se bude lišit pro jednotlivé země apod.)


K personalizaci obsahu a reklam a analýze naší návštěvnosti využíváme soubory cookie. Více informací