Derivát

Derivátové pravidlá

Derivátové pravidlá a zákony. Tabuľka derivátov funkcií.

Derivátová definícia

Derivácia funkcie je pomer rozdielu funkčnej hodnoty f (x) v bodoch x + Δx a x s Δx, keď je Ax nekonečne malé. Derivácia je funkčný sklon alebo sklon dotyčnice v bode x.

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ na 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

Druhý derivát

Druhý derivát je daný:

Alebo jednoducho odvodíte prvý derivát:

f '' (x) = (f '(x))'

Deviaty derivát

N th derivát sa vypočíta odvodenie f (x) n-krát.

K n th derivát sa rovná derivát (n-1) derivát:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

Príklad:

Nájdite štvrtý derivát

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '' = [10 x 4 ] '' '= [40 x 3 ]' '= [120 x 2 ]' = 240 x

Derivát na grafe funkcie

Derivácia funkcie je sklon tangenciálnej čiary.

Derivátové pravidlá

Pravidlo derivátovej sumy

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Derivátové produktové pravidlo

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Derivátové kvocientové pravidlo \ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( X)}
Derivátové reťazové pravidlo

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Pravidlo derivátovej sumy

Keď a a b sú konštanty.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Príklad:

Nájdite derivát:

3 x 2 + 4 x.

Podľa pravidla sumy:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Derivátové produktové pravidlo

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Derivátové kvocientové pravidlo

\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( X)}

Derivátové reťazové pravidlo

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Toto pravidlo možno lepšie pochopiť Lagrangeovou notáciou:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Funkcia lineárnej aproximácie

Pre malé Δx môžeme získať aproximáciu k f (x 0 + Δx), keď poznáme f (x 0 ) a f '(x 0 ):

f ( x 0 + A x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) A x

Tabuľka derivátov funkcií

Názov funkcie funkcie derivát

f ( x )

f '( x )
konštantný

const

0

lineárne

X

1

Moc

x a

sekera a- 1

exponenciálny

e x

e x

exponenciálny

a x

x ln

Prirodzený logaritmus

ln ( x )

logaritmus

log b ( x )

sinus

hriech x

cos x

kosínus

cos x

-sin x

tangenta

tan x

arkussínus

arcsin x

arkuskosínus

arkózy x

arkustangens

arctan x

Hyperbolická sínus

sinh x

cosh x

Hyperbolický kosínus

cosh x

sinh x

Hyperbolický tangens

tanh x

Inverzná hyperbolická sínus

sinh -1 x

Inverzný hyperbolický kosínus

cosh -1 x

Inverzný hyperbolický tangens

tanh -1 x

Príklady derivátov

Príklad č. 1

f ( x ) = x 3 + 5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2 + 5 x + 1 + 0 = 3 x 2 + 10 x +1

Príklad č. 2

f ( x ) = hriech (3 x 2 )

Pri použití pravidla reťazca:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Druhý derivátový test

Keď je prvá derivácia funkcie v bode x 0 nula .

f '( x 0 ) = 0

Potom druhý derivát v bode x 0 , f '' (x 0 ) môže označovať typ tohto bodu:

f '' ( x 0 )> 0

miestne minimum

f '' ( x 0 ) <0

miestne maximum

f '' ( x 0 ) = 0

neurčený

V súčasnej dobe máme okolo 884 kalkulačiek a prevodových tabuliek, ktoré vám pomôžu rýchlo spočítať všetko pre oblasti ako sú:

a ďalšie nástroje neustále vyvíjame. Naším cieľom je stať sa jednotným kontaktným miestom pre všetkých ľudí, ktorí potrebujú rýchle výpočty alebo ktorí potrebujú nájsť rýchlu odpoveď pre základné otázky na internete.

Okrem toho veríme, že internet by mal byť zdrojom bezplatných informácií. Všetky naše nástroje a služby sú preto úplne zadarmo a nie je nutná žiadna registrácia k tomu, aby ste ich mohli používať. Každú kalkulačku sme kódovali a vyvinuli individuálne a sami si ju dôkladne otestovali. Ak však zaznamenáte nejakú chybu, informujte nás, prosím.

Kým väčšina kalkulačiek na Justfreetools.com je navrhnutá tak, aby bola univerzálne použiteľná pre celosvetové použitie, niektoré kalkulačky a tabuľky sa môžu vzťahovať len pre konkrétne krajiny (napríklad výpočet daní z príjmov sa bude líšiť pre jednotlivé krajiny a pod.)


Page Id: 2697

K personalizáciu obsahu a reklám a analýze našej návštevnosti využívame súbory cookie. Viac informácií