Kvadratická rovnica

Kvadratická rovnica je polynóm druhého poriadku s 3 koeficientmi - a , b , c .

Kvadratická rovnica je daná:

ax ² + bx + c = 0

Riešenie kvadratickej rovnice je dané dvoma číslami x ₁ a x ₂ .

Kvadratickú rovnicu môžeme zmeniť na formu:

( x - x ₁ ) ( x - x ₂ ) = 0

Kvadratický vzorec

Riešenie kvadratickej rovnice je dané kvadratickým vzorcom:

Výraz vnútri druhej odmocniny sa nazýva diskriminačný a označuje sa Δ:

Δ = b ² - 4 ac

Kvadratický vzorec s diskriminačným zápisom:

Tento výraz je dôležitý, pretože nám môže povedať o riešení:

• Ak A> 0, existujú 2 skutočné korene x ₁ = (- b + √ Δ ) / (2a) a x ₂ = (- b- Δ ) / (2a) _.
• Keď A = 0, existuje jeden koreň x ₁ = x ₂ = -b / (2a) _.
• Keď A <0, nie sú žiadne skutočné korene, potom existujú 2 komplexné korene:
  x ₁ = (- b + i -A ) / (2a) a x ₂ = (- bi -A ) / (2a) _.

Problém č. 1

3 x ² +5 x +2 = 0

Riešenie:

a = 3, b = 5, c = 2

x _1,2 = (-5 ± √ (5 ² - 4 x 3 x 2)) / (2 x 3) = (-5 ± √ (25-24)) / 6 = (-5 ± 1) / 6

x ₁ = (-5 + 1) / 6 = -4/6 = -2/3

x ₂ = (-5 - 1) / 6 = -6/6 = -1

Problém č. 2

3 x ² -6 x +3 = 0

Riešenie:

a = 3, b = -6, c = 3

x _1,2 = (6 ± √ ((-6) ² - 4 x 3 x 3)) / (2 × 3) = (6 ± √ (36 - 36)) / 6 = (6 ± 0) / 6

x ₁ = x ₂ = 1

Problém č. 3

x ² +2 x +5 = 0

Riešenie:

a = 1, b = 2, c = 5

x _1,2 = (-2 ± √ (2 ² - 4 × 1 × 5)) / (2 × 1) = (-2 ± √ (4-20)) / 2 = (-2 ± √ (-16) )) / 2

Neexistujú žiadne skutočné riešenia. Hodnoty sú komplexné čísla:

x ₁ = -1 + 2 i

x ₂ = -1 - 2 i

Kvadratický funkčný graf

Kvadratická funkcia je polynomická funkcia druhého poriadku:

f ( x ) = ax ² + bx + c

 

Riešením kvadratickej rovnice sú korene kvadratickej funkcie, ktoré sú priesečníky grafu kvadratickej funkcie s osou x, keď

f ( x ) = 0

 

Ak existujú 2 priesečníky grafu s osou x, existujú 2 riešenia kvadratickej rovnice.

Ak existuje 1 priesečník grafu s osou x, existuje 1 riešenie kvadratickej rovnice.

Ak nie sú križovatky grafu s osou x, nedostaneme reálne riešenia (alebo 2 komplexné riešenia).