Prirodzený logaritmus

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

e konštanta alebo Eulerovo číslo je:

e = 2,71828183

Ln ako inverzná funkcia exponenciálnej funkcie

Prirodzená logaritmická funkcia ln (x) je inverznou funkciou exponenciálnej funkcie e ^x .

Pre x> 0

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

alebo

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Pravidlá a vlastnosti prirodzeného logaritmu

Názov pravidla	pravidlo	príklad
Pravidlo súčtu	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Podielové pravidlo	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Pravidlo umocňovania	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
Derivácia	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
Integrácia	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
záporné číslo	ln ( x ) nie je definované, keď x ≤ 0
logaritmus nuly	ln (0) nie je definované
logaritmus jedna	ln (1) = 0
logaritmus nekonečna	lim ln ( x ) = ∞, keď x → ∞
logaritmus mínus jedna	ln (-1) = i π

Logaritmické pravidlo pravidlo súčtu

Logaritmus násobenia x a y je súčtom logaritmov x a logaritmov y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Napríklad:

log ₁₀ (3 ∙ 7) = log ₁₀ (3) + log ₁₀ (7)

Logaritmické podielové pravidlo

Logaritmus delenia x a y je rozdiel logaritmu x a logaritmu y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

Napríklad:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Logaritmické pravidlo umocňovania

Logaritmus x umocnený na y je y krát logaritmus x.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Napríklad:

log ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Derivácia prirodzeného logaritmu

Derivácia funkcie prirodzeného logaritmu je recipročná funkcia.

Keď

f ( x ) = ln ( x )

Derivát f (x) je:

f ' ( x ) = 1 / x

Integrál prirodzeného logaritmu

Integrál funkcie prirodzeného logaritmu je daný:

Keď

f ( x ) = ln ( x )

Integrál f (x) je:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln z 0

Prirodzený logaritmus nuly nie je definovaný:

ln (0) nie je definované

Hranica blízko 0 prirodzeného logaritmu x, keď sa x blíži nule, je mínus nekonečno:

Ln z 1

Prirodzený logaritmus jedného je nula:

ln (1) = 0

Ln nekonečna

Limita prirodzeného logaritmu pre x sa blíži k nekonečnu, sa rovná nekonečnu:

lim ln ( x ) = ∞, keď x → ∞

Komplexný logaritmus

Pre komplexné číslo z:

z = re ^iθ = x + iy

Komplexný logaritmus bude (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( 9 + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arcttan ( y / x ))

Graf ln (x)

ln (x) nie je definované pre nepozitívne hodnoty x:

Tabuľka prirodzených logaritmov

Pravidlá logaritmu »