Laplaceova transformácia

Laplaceova transformačná funkcia
Laplaceova transformačná tabuľka
Laplaceova transformačná vlastnosť
Príklady Laplaceovej transformácie

Laplaceova transformácia prevádza funkciu časovej domény na funkciu s-domény integráciou od nuly do nekonečna

funkcie časovej domény, vynásobené e^-st.

Laplaceova transformácia sa používa na rýchle nájdenie riešení pre diferenciálne rovnice a integrály.

Derivácia v časovej doméne je transformovaná na multiplikáciu s v s-doméne.

Integrácia v časovej doméne je transformovaná na delenie pomocou s v doméne s.

Laplaceova transformačná funkcia

Laplaceova transformácia je definovaná operátorom L{}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Inverzná Laplaceova transformácia

Inverznú Laplaceovu transformáciu je možné vypočítať priamo.

Zvyčajne je inverzná transformácia daná z tabuľky transformácií.

Laplaceova transformačná tabuľka

Názov funkcie	Funkcia časovej domény	Laplaceova transformácia
Názov funkcie	f (t)	F(s) = L{f (t)}
konštantný	1	$\frac{1}{s}$
lineárne	t	$\frac{1}{s^2}$
Moc	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Moc	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
exponent	e^at	$\frac{1}{s-a}$
sinus	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
kosínus	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Hyperbolická sínus	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Hyperbolický kosínus	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Pestovanie sínus	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Rastúci kosínus	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Rozkladá sa sínus	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Rozklad kosínu	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Delta funkcia	δ(t)	1
Oneskorená delta	δ(t-a)	e^-as

Laplaceova transformačná vlastnosť

Názov nehnuteľnosti	Funkcia časovej domény	Laplaceova transformácia	komentár
	f (t)	F(s)
linearita	a f (t)+bg(t)	aF(s) + bG(s)	a,b sú konštantné
Zmena mierky	f (at)	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	a>0
smena	e^-at f (t)	F(s + a)
oneskorenie	f (t-a)	e^-asF(s)
derivácie	$\frac{df(t)}{dt}$	sF(s) - f (0)
N-tá derivácia	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	sⁿf (s) - s^n-1f (0) - s^n-2f '(0)-...-f^(n-1)(0)
Moc	tⁿ f (t)	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
integrácia	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
recipročné	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
konvolúcie	f (t) * g (t)	F(s) ⋅ G(s)	* je operátor konvolúcie
Periodická funkcia	f (t) = f (t+T)	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Príklady Laplaceovej transformácie

Príklad č. 1

Nájdite transformáciu f (t):

f (t) = 3t + 2t²

Riešenie:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Príklad č. 2

Nájdite inverznú transformáciu F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Riešenie:

Aby sme našli inverznú transformáciu, musíme zmeniť funkciu domény s na jednoduchšiu formu:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Aby sme našli aab, dostaneme 2 rovnice - jeden z koeficientov s a druhý zvyšok:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Teraz je možné F ľahko transformovať pomocou tabuľky transformácií pre exponentovú funkciu:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t

V súčasnej dobe máme okolo 927 kalkulačiek a prevodových tabuliek, ktoré vám pomôžu rýchlo spočítať všetko pre oblasti ako sú:

a ďalšie nástroje neustále vyvíjame. Naším cieľom je stať sa jednotným kontaktným miestom pre všetkých ľudí, ktorí potrebujú rýchle výpočty alebo ktorí potrebujú nájsť rýchlu odpoveď pre základné otázky na internete.

Okrem toho veríme, že internet by mal byť zdrojom bezplatných informácií. Všetky naše nástroje a služby sú preto úplne zadarmo a nie je nutná žiadna registrácia k tomu, aby ste ich mohli používať. Každú kalkulačku sme kódovali a vyvinuli individuálne a sami si ju dôkladne otestovali. Ak však zaznamenáte nejakú chybu, informujte nás, prosím.

Kým väčšina kalkulačiek na Justfreetools.com je navrhnutá tak, aby bola univerzálne použiteľná pre celosvetové použitie, niektoré kalkulačky a tabuľky sa môžu vzťahovať len pre konkrétne krajiny (napríklad výpočet daní z príjmov sa bude líšiť pre jednotlivé krajiny a pod.)

Našli ste nejakú chybu ? Dajte nám vedieť !

Page Id: 2698

Chcem inzerovať

Chcem pomôcť