Logaritmus

Logaritmické pravidlá

Základňa b logaritmus radu je exponent , že musíme zvýšiť základňu s cieľom získať telefónne číslo.

• Definícia logaritmu
• Logaritmické pravidlá
• Problémy s logaritmom
• Komplexný logaritmus
• Graf guľatiny (x)
• Logaritmická tabuľka
• Logaritmická kalkulačka

Definícia logaritmu

Keď sa b zvýši na silu y, rovná sa x:

b ^y = x

Potom je základný logaritmus x rovný y:

log _b ( x ) = y

Napríklad, keď:

2 ⁴ = 16

potom

log ₂ (16) = 4

Logaritmus ako inverzná funkcia exponenciálnej funkcie

Logaritmická funkcia,

y = log _b ( x )

je inverzná funkcia exponenciálnej funkcie,

x = b ^y

Ak teda spočítame exponenciálnu funkciu logaritmu x (x> 0),

f ( f ^-1 ( x )) = b ^log b ^{( x )} = x

Alebo ak vypočítame logaritmus exponenciálnej funkcie x,

f ^-1 ( f ( x )) = log _b ( b ^x ) = x

Prírodný logaritmus (ln)

Prírodný logaritmus je logaritmus k základni e:

ln ( x ) = log _e ( x )

Keď e konštanta je číslo:

alebo

 

Pozri: Prírodný logaritmus

Výpočet inverzného logaritmu

Inverzný logaritmus (alebo anti logaritmus) sa počíta zvýšením bázy b na logaritmus y:

x = log ^-1 ( y ) = b ^y

Logaritmická funkcia

Logaritmická funkcia má základnú formu:

f ( x ) = log _b ( x )

Logaritmické pravidlá

Pozri: Logaritmické pravidlá

Logaritmové produktové pravidlo

Logaritmus násobenia xay je súčtom logaritmov x a logaritmov y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Napríklad:

log ₁₀ (3 ∙ 7) = log ₁₀ (3) + log ₁₀ (7)

Logaritmické kvocientové pravidlo

Logaritmus delenia xay je rozdiel logaritmu x a logaritmu y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

Napríklad:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Pravidlo logaritmického výkonu

Logaritmus x zvýšené na moc y je y krát logaritmus x.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Napríklad:

log ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Pravidlo logaritmického základného prepínania

Základný logaritmus b je 1 vydelený základným logaritmom b.

log _b ( c ) = 1 / log _c ( b )

Napríklad:

log ₂ (8) = 1 / log ₈ (2)

Pravidlo zmeny logaritmického základu

Základný logaritmus x je základný logaritmus x vydelený základným logaritmom b.

log _b ( x ) = log _c ( x ) / log _c ( b )

Napríklad, aby sme mohli vypočítať log ₂ (8) v kalkulačke, musíme zmeniť základňu na 10:

log ₂ (8) = log ₁₀ (8) / log ₁₀ (2)

Pozrite si: pravidlo zmeny základne denníka

Logaritmus záporného čísla

Skutočný logaritmus bázy b, keď x <= 0, nie je definovaný, keď x je záporné alebo sa rovná nule:

log _b ( x ) nie je definovaný, keď x ≤ 0

Pozri: denník záporného čísla

Logaritmus 0

Základný b logaritmus nuly nie je definovaný:

log _b (0) nie je definovaný

Hranica základnej logaritmy b x, keď sa x blíži nule, je mínus nekonečno:

Pozri: denník nuly

Logaritmus z 1

Základný logaritmus b je 0:

log _b (1) = 0

Napríklad základný logaritmus jednej je nula:

log ₂ (1) = 0

Pozri: denník jedného

Logaritmus nekonečna

Hranica základnej logaritmy x, keď sa x blíži k nekonečnu, sa rovná nekonečnu:

lim log _b ( x ) = ∞, keď x → ∞

Pozri: denník nekonečna

Logaritmus základne

Základný logaritmus b je jeden:

log _b ( b ) = 1

Napríklad základný dva logaritmy z dvoch je jeden:

log ₂ (2) = 1

Deriváty logaritmov

Kedy

f ( x ) = log _b ( x )

Potom derivát f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Pozrite si: log derivát

Logaritmický integrál

Integrál logaritmu x:

∫ log _b ( x ) dx = x ∙ (log _b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Napríklad:

∫ log ₂ ( x ) dx = x ∙ (log ₂ ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Aproximácia logaritmov

log ₂ ( x ) + n + ( x / 2 ⁿ - 1),

Komplexný logaritmus

Pre komplexné číslo z:

z = re ^iθ = x + iy

Komplexný logaritmus bude (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( 9 + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arktán ( y / x ))

Problémy s logaritmom a odpovede

Problém č. 1

Nájdite x pre

log ₂ ( x ) + log ₂ ( x -3) = 2

Riešenie:

Použitie pravidla produktu:

log ₂ ( x ∙ ( x -3)) = 2

Zmena logaritmického formulára podľa definície logaritmu:

x ∙ ( x -3) = 2 ²

alebo

x ² -3 x -4 = 0

Riešenie kvadratickej rovnice:

x _1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Pretože logaritmus nie je definovaný pre záporné čísla, odpoveď je:

x = 4

Problém č. 2

Nájdite x pre

log ₃ ( x +2) - log ₃ ( x ) = 2

Riešenie:

Pomocou pravidla kvocientu:

log ₃ (( x +2) / x ) = 2

Zmena logaritmického formulára podľa definície logaritmu:

( X 2) / x = 3 ²

alebo

x +2 = 9 x

alebo

8 x = 2

alebo

x = 0,25

Graf guľatiny (x)

log (x) nie je definovaný pre skutočné pozitívne hodnoty x:

Tabuľka logaritmov

Kalkulačka logaritmov »